Ciąg – przyporządkowanie wszystkim liczbom naturalnym z przedziału (1,n), lub wszystkim liczbom naturalnym dodatnim, elementów z pewnego ustalonego zbioru. W pierwszym przypadku jest to ciąg skończony, w drugim ciąg nieskończony. Każdej liczbie naturalnej n jest przyporządkowywany tylko jeden element, oznaczany zwykle an (n w indeksie dolnym) Elementy a1,a2,a3 (liczby w indeksie dolnym) zwane są zwykle wyrazami ciągu. W odróżnieniu od elementów zbioru, kolejność wyrazów ciągu jest istotna, a ta sama wartość może wystąpić w ciągu wielokrotnie.
Przykłady:
Własności
Wzory:
Przykłady:
- skończony ciąg pięciu liczb naturalnych: 10,2,3,0,12
- nieskończony ciąg stały: 5,5,5,5,5,....
- nieskończony ciąg: 1,-1,1,-1,1,..
- nieskończony ciąg kolejnych liczb pierwszych: 2,3,5,7,11,13,...
- nieskończony ciąg następujących liczb wymiernych: 1,1/2,1/3,1/4...
- skończony ciąg dużych liter alfabetu łacińskiego: A,B,C,..Z
Własności
Ponieważ ciągi definiuje się jako funkcje, to do ich określania stosuje się pojęcia związane z funkcjami,np. ciąg stały, ciąg monotoniczny (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący), czy ciąg ograniczony.
Jeśli struktura określona na zbiorze elementów ciągu umożliwia mówienie o granicy ciągu, np. struktura metryczna, to ciąg, który ma granicę (właściwą) nazywa się zbieżnym, a w przeciwnym wypadku mówi się, iż jest on rozbieżny. Ciąg spełniający tzw. warunek Cauchy'ego, czyli ciąg, którego wyrazy „zbliżają się” do siebie, nazywa się ciągiem Cauchy'ego.
O ciągach zbiorów można powiedzieć, że są zstępujące lub wstępujące w zależności od tego, czy kolejne wyrazy (zbiory) ciągu zawierają się w poprzedzającym, czy w kolejnym.
Wzory: